前言-6

本文总结线性代数在马尔可夫链、图论及深度学习等领域的应用，强调特殊矩阵结构的重要性。通过三个热身问题直观揭示“向量个数超过空间维度必线性相关”的核心原理，并指出配套网站资源，正式开启从几何直觉到代数结构的课程旅程。

正文

本书与网站中的应用案例

我希望这本书能在你完成线性代数课程后，依然长期对你有用。线性代数的各类应用正是实现这一点的关键。矩阵承载数据，其他矩阵则对这些数据进行运算。我们的目标是通过理解特征值、特征向量、奇异值与奇异向量，来“看透矩阵的本质”。每类应用都对应着特殊的矩阵，以下是四个典型例子：

• 马尔可夫矩阵 (M)：每一列都是一组概率，且列内元素之和为 1。
• 关联矩阵 (A)：图与网络由一组节点构成，矩阵 (A) 描述了这些节点之间的连接（边）。
• 变换矩阵 (F)：傅里叶矩阵可揭示数据中的频率信息。
• 协方差矩阵 (C)：方差是描述随机变量的核心信息，协方差则解释了变量之间的依赖关系。

在第6版中，我们收录了这些及更多应用案例。针对深度学习中矩阵权重的关键计算，第9章介绍了优化理论。在这里，线性代数与微积分交汇：由于函数 ($F(x)$) 包含多个变量，“导数为零”这一条件在极小值点处转化为矩阵方程。

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第5版中的若干主题虽不再占据正文章节，但其重要性并未减弱——这些章节被迁移至线上。本第6版的配套网站为：

math.mit.edu/linearalgebra

该网站包含第6版的样章及所有习题的解答。以下是从第5版迁移至线上的部分章节（及更多内容）：

• 傅里叶级数
• 范数与条件数
• 迭代法与预条件子
• 密码学中的线性代数

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线性代数小热身：课程正式开始前的三个问题

1. 假设你在纸上画出三条长度分别为 ($r, s, t$) 的线段，要将它们拼成一个三角形，这三个长度需要满足什么条件？（本题中你可自由选择三条线段的方向）
2. 假设三条直线 ($u, v, w$) 的方向固定且互不相同，你可以将它们分别拉伸为 ($au, bv, cw$)（($a,b,c$) 为任意实数）。是否总能由这三个向量 ($au, bv, cw$) 构成一个闭合三角形？
3. 线性代数并不局限于平面！假设在三维空间中有四条方向互不相同的直线 ($u, v, w, z$)，是否总能选取非零实数 ($a,b,c,d$)，使得 ($au + bv + cw + dz = 0$)？

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致谢与联系方式

感谢 Wellesley Publishers 的 Ashley C. Fernandes 负责本书排版、网站维护及为印度读者提供优质教材。 官网：www.wellesleypublishers.com 作者邮箱：gilstrang@gmail.com 吉尔伯特·斯特朗

备注

此处是为了理解翻译者加上的。

核心知识点梳理

1. 应用导向：线性代数的核心价值在于应用，从马尔可夫链、图论到深度学习优化，矩阵是处理数据的核心工具。
2. 特殊矩阵：不同应用场景对应不同结构的矩阵（如马尔可夫矩阵、协方差矩阵），理解其结构是解决问题的关键。
3. 热身问题：三个问题分别对应三角不等式、平面向量线性组合、三维空间线性相关性，是线性代数思维的入门训练。

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三个热身问题的答案和解析（线性代数视角）

题目1

Suppose you draw three straight line segments of lengths ($r,s,t$) on this page. What are the conditions on those three lengths to allow you to make the segments into a triangle? In this question you can choose the directions of the three lines.

中文题意

在平面上画三条线段，长度分别为 ($r,s,t$)，方向可以任意选。问：满足什么条件，就能拼成三角形？

完整解答

三角形的本质，就是三个向量首尾相接、闭合、总和为 0： $a\boldsymbol{r}+b\boldsymbol{s}+c\boldsymbol{t}=0$ 其中 ($\boldsymbol{r},\boldsymbol{s},\boldsymbol{t}$) 是三个方向。

1. 平面是 2 维空间。
2. 在 2 维空间里，任意 3 个向量一定线性相关。
3. 只要这三个线段两两不平行（两两不共线），就一定是线性无关的两个方向 + 一个多余方向。
4. 因为方向可以任意选择，我们总能调整方向，让三个向量互相抵消、闭合。

最终结论（线代版）

只要三条线段 两两不平行（任意两条不共线），就一定可以拼成三角形。

这题考的不是长度，是维度 + 线性相关。

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题目2

Now suppose the directions of three straight lines ($\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$) are fixed and different. But you could stretch those lines to ($a\boldsymbol{u},b\boldsymbol{v},c\boldsymbol{w}$) with any numbers ($a,b,c$). Can you always make a closed triangle out of the three vectors ($a\boldsymbol{u},b\boldsymbol{v},c\boldsymbol{w}$)?

中文题意

三个向量 ($\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}$) 方向固定、互不相同。 可以任意拉伸长度为 ($a\boldsymbol{u},b\boldsymbol{v},c\boldsymbol{w}$)。 问：是否一定能拼成闭合三角形？

完整解答

1. 平面是 2 维空间。
2. 空间维度 = 2，向量个数 = 3。
3. 向量个数 > 空间维度 ⇒ 必然线性相关。
4. 线性相关的定义：一定存在不全为 0 的系数 ($a,b,c$)，使得 $a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}+c\boldsymbol{w}=0$
5. 几何上，这个式子就表示：三个向量拉伸后，可以首尾相接、闭合、形成三角形。

最终结论

一定可以拼成闭合三角形。

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题目3

Linear algebra doesn't stay in a plane! Suppose you have four lines ($\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w},\boldsymbol{z}$) in different directions in 3-dimensional space. Can you always choose the numbers (a,b,c,d) (zeros not allowed) so that $a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}+c\boldsymbol{w}+d\boldsymbol{z}=0$?

中文题意

三维空间里有 4 个向量，方向都不同。 能否找到不全为 0 的系数 ($a,b,c,d$)，使得它们的线性组合等于 0？

完整解答

1. 三维空间 ($\mathbb{R}^3$) 的维度 = 3。
2. 向量个数 = 4。
3. 向量个数 > 空间维度 ⇒ 必然线性相关。
4. 线性相关的定义就是：一定存在不全为 0 的系数，使得 $a\boldsymbol{u}+b\boldsymbol{v}+c\boldsymbol{w}+d\boldsymbol{z}=0$
5. 方向不同只代表任意两个不共线，但不影响“4 个向量一定相关”。

最终结论

一定可以找到这样的非零系数。

三题总规律（Strang 想教你的真正道理）

• 2 维空间 ⇨ 最多 2 个线性无关向量
• 3 维空间 ⇨ 最多 3 个线性无关向量
• 向量个数 > 维度 ⇒ 必线性相关
• 线性相关 ⇨ 一定能组合成 0 ⇨ 几何上能闭合

我给你编最简单、最直白、完全对应这三道题的一句话口诀，背下来就彻底懂前言在讲啥了：

线性代数热身题 · 一句话口诀

维数定上限，多了必相关；不平行就无关，能凑零就闭合。

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前言全部内容 · 一句话总结

线性代数，就是研究：向量怎么组合、空间有多大、哪些向量多余、哪些是骨架。

• 不平行 = 线性无关
• 向量个数 > 维度 = 必相关
• 相关 = 能凑成 0 = 能闭合
• 矩阵分解 = 找出真正独立的“骨架”
• 四大子空间 = 空间的四个基本部分